lundi 4 juin 2012

Quelques très belles équations expliquées simplement

Note : Voici un nouvel article de vulgarisation. J'utilise ici des termes pas forcément rigoureux pour tenter d'expliquer la beauté des équations. Si vous savez que Pi est transcendant, vous connaissez déjà la beauté de l'identité d'Euler :-) alors ne me tombez pas dessus !

A priori, une équation c'est pas très sexy

Souvent, c'est le "prétexte" des films blockbusters - un savant; que l'on soupçonne un peu fou, uniquement intéressé par ses recherches (dans la réalité, c'est loin d'être le cas, la majorité des scientifiques avaient des vies amoureuses très tumultueuses), découvre son équation qui va "changer le monde" - ou le détruire.

Mais la beauté est dans l'oeil du gardien. Ces équations sont au XXIème siècle des bornes kilomètriques du génie humain au même titre que les épopées d'Homère.

Elles sont belles, et pas si compliquées.

La plus belle


Cette équation porte le nom d'identité d'Euler.

Nous sommes ici dans le domaine des mathématiques.

Le pays des mathématiques est vaste, mais où que vous alliez, il est pratiquement certain que vous croisiez des noms célèbres comme Euler ou Gauss. C'est en hommage aux travaux fondamentaux de ce premier que cette équation à été ainsi nommée.

Il est difficile d'exprimer, si vous ne la ressentez pas, l'émotion intime et puissante, le trouble et la fascination que cette égalité suscite. Des ouvrages entiers, des systèmes de notation ont été consacrés à elle seule, comme une idole divine, certains amateurs de mathématique en ont perdu la raison comme on se perd d'amour pour une femme trop belle.

Quelques explications sur les éléments de cette équation :

- 1 et 0, vous les connaissez, ces chiffres très particuliers.

0 n'est pas seulement le fameux 0, le rien symbolisé que vous manipulez souvent, il est l'élément neutre de l'opération fondamentale qui est l'addition, ce qui veut dire que si vous ajoutez 0 à quelque chose, ça fait ce quelque chose.

1 c'est pareil, mais pour la multiplication.

Ainsi, 0 et 1 s'invitent dans cette équation purement mathématique comme représentant des opérations fondamentales de manipulation des nombres.

π est ce nombre étrange, pas très loin de 3,14, sans fin, qui détient les secrets du cercle et d'allant d'une forme
de perfection. 
Comme nous le verrons, Pi est partout dans l'univers, que vous piochiez dans les équilibres
de la physique, 
des probabilités, des nombres premiers...

- i est une entité intrigante. Elle a pour nom "nombre imaginaire".

Vous devez connaître les carrés : 2² = 2 x 2 = 4.

Si on fait le carré d'un nombre négatif, par exemple (-1)² cela donne toujours un nombre positif car moins par moins ça fait plus. Ce qui est assez ennuyeux, car si on pouvait faire des racines carrées (l'opération inverse d'un carré) de nombres négatifs, on aurait des solutions à des tas d'équations.

Alors on a posé il y a bien longtemps un "nombre imaginaire" qui n'est pas représentable par les chiffres qui nous sont ordinaires et que nous avons noté i tel que i ² = -1.

i nous a ouvert de nouveaux univers, celui des nombres complexes, et donné accès à la résolution de nombreuses équations dans des domaines "imaginaires" qui parfois retombaient dans le réel - avec des applications réelles.

- Enfin, e (e comme Euler, encore !) est un nombre sans fin au même titre que Pi, à peu près égal à 2,71...et tout comme Pi il est incontournable dans le monde des maths. Il est le rouage au coeur de la mécanique des logarithmes et des exponentielles, cette fonction qui s'envole très haut rapidement, comme quand on vous dit "oh la la, ça a une croissance exponentielle !", ces exponentielles que l'on retrouve dans les lobes de vos oreilles, dans la croissance des bactéries, dans les "buzz internet" !

Donc en gros on a le G5 (et non le G8) des plus grandes sommités du monde des Maths, et elles s'agencent parfaitement comme des pièces de puzzles taillées par la nature.

Elle existe comme une chose belle et parfaite qui existait avant nous et existera après nous, comme le soleil, mais a-t-elle une signification profonde pour nous les hommes ?

Nous ne le savons pas encore.




La plus cool

6CO2 + 6H2O  → C6H12O6 + 6O2

La formule que vous voyez ci-dessus est celle de la photosynthèse.

A gauche, on a ce qui est absorbé par la plante, et à droite ce qui est rejeté par la plante.

La petite flèche est le "mécanisme biologique merveilleux" au coeur des plantes, quand elles reçoivent de la lumière.

Je trouve cette équation vraiment très cool, parce que des tas de gens illuminés parlent du "poumon de la terre" en parlant de la forêt amazonienne (ce qui est faux, le poumon est en fait les échanges chimiques des océans), mais là, sous vos yeux, vous avez le détail du mécanisme et de son parfait équilibre.

La plante prend 6 molécules de dioxyde de carbone ( CO2 , que l'on retrouve dans l'air ambiant, c'est le gaz que nos poumons à nous rejettent), et 6 molécules d'eau (H2O).


Elle rejette à droite une molécule de C6H12O6  c'est à dire de glucose et de l'Oxygène !

Et vous pouvez comptez les C (atomes de carbone) les O (atomes d'oxygène) et les H (atomes d'hydrogène), le compte y est !

Imaginez une machine qui prend du dioxyde de carbone pour faire de l'oxygène et du sucre (dans de délicieuses pêches...miam...), ce serait extraordinaire ! Et bien cela existe, c'est la photosynthèse, ce merveilleux mécanisme des plantes.


La plus famous

E = mc2


Voici la star des équations, tout le monde la connaît, la fameuse égalité d'Einstein (quoique sa paternité réelle soit contestée...français, battez-vous pour la reconnaissance de notre grand Poincaré !).

Mais que veut dire E = mc² ?

Regardons ces symboles :

- E, c'est de l'énergie. L'énergie c'est assez difficile à expliquer parce que le terme est très galvaudé. Mais disons que quand vous vous brûlez la main sur une casserole trop chaude, ou qu'un pack de rugby vous tombe dessus en plein match, et que ca fait ouille, c'est parce que c'est plein d'énergie.

- m c'est de la masse. La masse, vous en avez une petite idée, c'est en gros quand vous tenez un objet dans les mains, il a un poids, il a une masse. (je simplifie, me tombez pas dessus !)

- et C est une constante appelée célérité et qui est égale à la vitesse de la lumière. Elle est assez élevée 299 792 458 m/s, et en plus ici nous en manipulons le carré, soit un facteur de 89 875 517 873 681 764 !


Que doit-on comprendre ?


Et bien déjà qu'il y a un lien entre masse et énergie


Vous avez de l'énergie ? On peut en faire de la masse.
Vous avez de la masse ? On peut en faire de l'énergie.


C'est dingue. 


N'importe quoi, même VOUS, on pourrait vous transformer en énergie !


Ensuite, le facteur énorme de c² montre que si on prend un tout petit peu de masse, quelques atomes à peine,
on peut dégager une énergie colossale. C'est le principe de l'énergie nucléaire.


Ainsi, les premières bombes nucléaires ont converti en énergie...un seul gramme de matière !


Le caractère absolu et mythique de l'arme nucléaire a transformé cette équation en star du monde scientifique,
mais les échanges matière-énergie sont omniprésents dans le cosmos : la plus grosse centrale nucléaire de notre
système solaire reste encore...notre soleil.



Enfin, je trouve particulièrement poétique que la lumière par sa vitesse s'invite dans cette relation entre masse et énergie...




Et pour terminer, un feu d'artifice
d'équations complètement folles !

Pas forcément d'explications détaillées pour ces formules impressionnantes et folles de différents domaines scientifiques.

Sous vos yeux ébahis, admirez !


La formule de Stirling ! Vous êtes un fan des déménageurs de l'extrême ? Vous êtes un fan des convois de l'extreme ? Vous êtes un fan de Bear Grylls ? Vous vous levez le matin et FUCK vous voulez de l'extrême ?

Et bien vous l'avez, la motherfucking formule de Stirling qui donne un équivalent à la factorielle quand on approche de l'infini, ça MARCHE QUE QUAND ON EST A L'INFINI ET OUI LES PETITES COUILLES DEHORS.


Alors là c'est DINGUE, j'espère que vous êtes accroché à votre fauteuil. C'est le théorème de Cesaro.

OK.

P c'est la probabilité que si vous prenez deux nombres au hasard, n'importe lesquels, n'importe lesquels les mecs, ces deux nombres soient premiers entre eux.

Cette probabilité est de 6/pi².

Vous allez me dire : putain Fibre mais qu'est ce que vient faire Pi ici, Pi c'est le mec des cercles, là on est dans les nombres premiers ET OUAIS PI C'EST UN BADASS DE NOMBRE JE VOUS AVAIS PREVENU IL EST EVERYWHERE ET TENEZ VOUS A CARREAU SINON IL VIENDRA VOUS BRISER LES GENOUX POUR RIRE

Une pi-pie, le dessert des badasses


D'ailleurs je vois que vous aimez Pi, alors voilà encore du Pi :


Formule de Simon Plouffe, qui a vécu une enfance difficile à cause de son nom de famille et s'est réfugié dans les maths, à sortir des formules de gros nerd avec des i partout et on retrouve encore des Pi.

Life of Pi, un film/roman avec un Tigre !


Encore du Pi :



Vous allez me dire Fibre Fibre mais quel est le grand malade qui a pondu ce type de formule de dingue, et bien c'était un grand malade réel, le grand Ramanujan, une histoire de fou à la Slumdog Millionaire, le mec il sortait des formules à partir de rien, et plouffe (hihi) il envoie la formule cash à ses potes english qui jettent le tout à la poubelle parce que c'est trop zarbi.

Ramanujan est le douanier Rousseau des maths, il aimait chaque nombre comme un ami. 727 ? un ami. 1429 ? un ami.

"Ramanujan, tu veux un hamster pour ton anniversaire ? Non maman je veux un NOMBRE".

Le prochain qui me dit que les amis imaginaires c'est weirdo, je leur présente Ramanujan l'ami des 60 millions d'amis nombres (+ l'infini).

D'ailleurs il y a un nombre qui s'appelle le Nombre de Ramanujan : 1729.



Si vous êtes un vrai geek, vous le saviez déjà, car il y a une jolie histoire de taxi derrière.

Et puisque vous aimez vraiment Pi, voici une jolie chanson de Kate Bush dans laquelle sont récitées quelques décimales de ce nombre mystérieux (elle se trompe dans quelques décimales, mais on lui en fera grâce) :



8 commentaires:

  1. Oh je suis déçu, je pensais que ça allait se finir par ce feu d'artifice qu'est la chanson "Pi" de Hard n' Phirm : http://www.youtube.com/watch?v=XRkcGPRXux4
    Mais bon, Kate Bush c'est bien aussi.

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  2. Trop cool cet article.
    La formule de Stirling est la plus sexy je trouve, celle d'Euler est un peu trop dénudée à mon goût... Je connaissais le théorème de Césaro concernant les limites de suite mais pas celui sur les nombres premiers, pourtant moi qui adore ceux-là. J'en suis à présent bien aise.
    J'approuve le choix de la photosynthèse pour faire des pêches sucrées. Et merci pour la découverte de Plouffe et Ramanujan aussi !

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  3. Petite coquille :

    Dans la première formule, tu écris ça :
    « Vous devez connaître les carrés : 2² = 2 x 2 = 4.

    Si on fait le carré d'un nombre imaginaire, par exemple (-1)² »

    C'est plutôt le carré d'un nombre réel non ?

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  4. Je n'ai pas tout compris, mais tu as raison, c'est beau.

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  5. @emojk : je ne connaissais pas vraiment. Je me méfie des adaptations "artistiques" sur Pi - le film m'a beaucoup déçu car il y a beaucoup à dire mais les non mathématiciens tapent souvent à coté.

    @white_fangs : merci, si tu ne connais pas Ramanujan, c'est un mathématicien dont la bio est folle, genre né dans un bidonville, autiste génie des maths...etc...

    @custin : oui d'un nombre négatif je voulais dire.

    @claudius : :-)

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  6. et sinon t'es marié ? parce que j'adore, j'aime, je like enfin la totale quoi… bref ça : φ

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  7. Notre amour est impossible, je suis allergique aux chats (et aux humains).

    Sinon pour φ ce qui est cool c'est ce que c'est le nombre d'or. Il y a un moyen de l'exprimer avec le terrible nombre 666 (le chiffre du diable)...je te laisse le chercher sur internet...

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  8. Bingo ! Je cherchais un texte sur les équations, ici on est servi c'est même le banquet !! J'ai appris lot of trucs (pas trucks, trucs, hein), cool. Un article poétique, super malin, de quoi faire rêver les mémés qui ont raté les maths avec conscience pdt toute leur scolarité (en 1965 j'ai été dispensée de maths par autorisation spéciale du proviseur).

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Merci de lire mon blog